每日一题[2056]垂径定理遇上灭门人

如图，已知椭圆 $C_{1}:\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$，抛物线 $C_{2}:y^{2}=2px$（$p>0$），点 $A$ 是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点 $B$，交抛物线 $C_{2}$ 于 $M$（$B, M$ 不同于 $A$）．

1、若 $p=\dfrac{1}{16}$，求抛物线 $C_{2}$ 的焦点坐标．

2、若存在不过原点的直线 $l$ 使 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，求 $p$ 的最大值．

解析

1、抛物线 $C_2$ 的焦点坐标为 $\left(\dfrac p2,0\right))$，即 $\left(\dfrac{1}{32},0\right)$．

2、设 $A(2pa^2,2pa)$，$M(2pm^2,2pm)$，则直线 $AM$ 的斜率为 $\dfrac{1}{a+m}$，直线 $OM$ 的斜率为 $\dfrac 1m$．结合点 $A$ 在椭圆 $C_1$ 上，根据椭圆的垂径定理，有 $M$ 平分 $AB$ 等价于 $$\begin{cases} \dfrac 1m\cdot \dfrac{1}{a+m}=-\dfrac 12,\\ \dfrac{(2pa^2)^2}{2}+(2pa)^2=1,\\ \dfrac{(2pm^2)^2}{2}+(2pm)^2<1, \end{cases}$$ 由第一个方程解得 $a=-\left(m+\dfrac 2m\right)$，于是 $a^2\geqslant 8$（等号当 $m=\pm \sqrt 2$ 时取得）．进而由第二个方程可得 $$p=\dfrac{1}{\sqrt{2(a^4+2a^2)}}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2(8^2+2\cdot 8)}}=\dfrac{\sqrt{10}}{40},$$ 等号当 $(a,m)=\left(\pm 2\sqrt 2,\mp \sqrt 2\right)$ 时可以取得．因此 $p$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt{10}}{40}$．