每日一题[2037]分类讨论

设 $a,b,c$ 均为大于零的实数，若一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有实根，则（       ）

A．$\max\{a,b,c\}\geqslant \dfrac 12(a+b+c)$

B．$\max\{a,b,c\}\geqslant \dfrac 49(a+b+c)$

C．$\min\{a,b,c\}\leqslant \dfrac 14(a+b+c)$

D．$\min\{a,b,c\}\leqslant \dfrac 13(a+b+c)$

答案    BCD．

解析    不妨设 $a\geqslant c$，则

$$b^2\geqslant 4ac\geqslant 4c^2,$$ 于是 $b\geqslant 2c$，因此 $$a+b+c\geqslant a+2c+c\geqslant 4c=4\min\{a,b,c\},$$ 选项 $\boxed{C}$ 成立．

情形一    若 $a\geqslant b\geqslant c$，则

$$b^2\geqslant 4ac\geqslant 4bc,$$ 于是 $b\geqslant 4c$，从而 $$a+b+c\leqslant \dfrac 94a=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$

情形二    若 $b\geqslant 4a\geqslant c$，则

$$a+b+c\leqslant \dfrac 94b=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$

情形三    若 $4a>b\geqslant a\geqslant c$，则

$$a+b+c\leqslant a+b+\dfrac{b^2}{4a}\leqslant b+\dfrac 54b=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$ 注意 $a+\dfrac{b^2}{4a}$ 是关于 $a$ 的对勾函数，当 $\dfrac b4<a\leqslant b$ 时，最大值在 $a=b$ 时取到．

情形四    若 $a\geqslant c>b$，则

$$a+b+c\leqslant a+a+\dfrac{b^2}{4a}<a+a+\dfrac a4=\dfrac 94a=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$

综上所述，选项 $\boxed{B}$ 成立．