每日一题[2012]斜率变化

已知函数 $f(x)=2\ln x+1$．

1、若 $f(x)\leqslant 2x+c$，求 $c$ 的取值范围．

2、设 $a>0$，讨论函数 $g(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 的单调性．

解析

1、根据题意，有

$$\forall x>0,c\geqslant 2\ln x-2x+1,$$ 记右侧函数为 $h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac {2(1-x)}x,$$ 于是函数 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，在 $x=1$ 处取得极大值也为最大值 $h(1)=-1$，因此 $c$ 的取值范围是 $[-1,+\infty)$．

2、题中函数

$$g(x)=2\cdot \dfrac{\ln x-\ln a}{x-a},$$ 其导函数 $$g'(x)=2\cdot \dfrac{1-\dfrac ax+\ln \dfrac ax}{(x-a)^2}.$$ 由 $\ln x\leqslant x-1$，可得 $$\ln \dfrac ax\leqslant \dfrac ax-1,$$ 因此在区间 $(0,a)$ 和 $(a,+\infty)$ 上，$g'(x)<0$，进而函数 $g(x)$ 在 $(0,a)$ 和 $(a,+\infty)$ 上单调递减．

备注    事实上可以证明当 $x\in (0,a)$ 时，有

$$\dfrac{\ln x-\ln a}{x-a}>\dfrac 1a,$$ 而当 $x\in (a,+\infty)$ 时，有 $$\dfrac{\ln x-\ln a}{x-a}<\dfrac 1a,$$ 因此 $g(x)$ 是在定义域 $\mathbb R^+\setminus \{a\}$ 上的单调递减函数．