每日一题[1973]临界状态

已知平面直角坐标系下直线 $l$ 过点 $D_0(0,3)$ 且斜率为 $3$，点 $D$ 在直线 $l$ 上运动．若以 $D(a,b)$ 为圆心，以 $\lambda\left(\dfrac 13a+b\right)$ 为半径的圆与曲线 $xy=6$ 的公共点个数不超过 $2$，则 $\lambda$ 的最大值为______．

答案    $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$．

解析    根据题意，有 $l:y=3x+3$．设 $D$ 点的横坐标为 $m$，则题中的圆的半径

$$r(m)=\lambda\left(\dfrac{10}3m+3\right),$$ 考虑到问题为求 $\lambda$ 的最大值，因此只考虑 $\lambda>0$ 的情形，此时 $m>-\dfrac9{10}$．考虑到当 $m$ 增大时，点 $D\left(m,\dfrac 13m+3\right)$ 在直线 $l$ 上向右上方运动，半径 $r(m)$ 逐渐增大，会形成一系列半径逐渐变大的圆．问题的关键是这些圆与双曲线 $xy=6$ 的位置关系． 考虑到这些圆的圆心在直线 $l$ 上运动，我们选择以 $D_0$ 为参照物．注意到半径 $r$ 是关于 $m$ 的一次函数，圆心 $D$ 到 $D_0$ 的距离 $d=\sqrt{10}m$ 也是关于 $m$ 的一次函数，因此随着 $m$ 的增大，考虑这一系列圆在直线 $l$ 上的投影，可能会有以下几种不同的变化（先忽略下面的标数）．

设直线 $l$ 与双曲线交于点 $A,B$，其中 $A$ 位于第三象限，$B$ 位于第一象限（事实上，$A(-2,-3)$，$B(1,6)$），圆 $D$ 在直线 $l$ 上的投影为线段 $MN$，其中$M$点的横坐标小于$N$点的横坐标，那么随着 $m$ 的变大，$N$ 点显然会趋于右上无穷远处，而 $M$ 可能向左下运动，可能不动，也可能向右上运动，取决于 $r$ 与 $d$ 增长的速度快慢． 这样我们就理解了解决问题的关键，中图为临界状态，此时 $M$ 为定点，圆 $D$ 只可能与双曲线在第一象限的部分有至多 $2$ 个公共点．如果 $\lambda$ 比临界值更大，那么 $M$ 会趋于左下无穷远处，此时圆 $D$ 与双曲线会出现多于 $2$ 个公共点的情形；而如果 $\lambda$ 比临界值更小，那么圆 $D$ 整体是向右上运动的，比临界状态更“安全”． 接下来我们建立代数关系求出 $\lambda$ 的临界值．

如图，在以 $D_0$ 为原点的数轴上，$D$ 点坐标为 $\sqrt{10}m$，圆 $D$ 半径为 $\lambda\left(\dfrac{10}3m+3\right)$，因此 $M$ 点坐标 $t=\sqrt{10}m-\lambda\left(\dfrac{10}3m+3\right)$．临界状态为 $t$ 是常数，此时 $\lambda=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$（此时 $t=-\dfrac{9}{\sqrt{10}}$，在原直角坐标系下，$M$ 为定点 $M_0\left(-\dfrac{9}{10},\dfrac{3}{10}\right)$）．

最后就是严格说理的部分了，临界状态可以通过所有圆在过 $M_0$ 的直线 $l$ 的垂线的一侧来证明．$\lambda$ 不能取得更大的值可以通过当 $m$ 足够大时，点 $M,N$ 会分别位于第三、一象限双曲线内部，且与此同时圆 $D$ 必然存在位于第二、四象限的部分来证明圆 $D$ 与双曲线可以有 $4$ 个公共点说明．