每日一题[1971]分类讨论

已知函数 $f(x)=\sqrt{ax^2-ax+2}$，$g(x)=ax-a+2$，若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象恰有一个公共点，则 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $\{-8\}\cup[1,+\infty)$．

解析    函数 $f(x)$ 即曲线

$$\Gamma:a\left(x-\dfrac 12\right)^2-y^2+2-\dfrac a4=0$$ 在 $x$ 轴上方（包括轴上）的部分．函数 $g(x)$ 的图象即过点 $(1,2)$，斜率为 $a$ 的直线 $l$．按 $a$ 分类讨论．

情形一     $a<0$．此时 $\Gamma$ 是半椭圆

$$\dfrac{\left(x-\dfrac 12\right)^2}{\dfrac{2-\dfrac a4}{-a}}+\dfrac{y^2}{2-\dfrac a4}=1,$$ 而 $l:a\left(x-\dfrac 12\right)-y-\dfrac a2+2=0$，此时等效判别式 $$\Delta =a^2\cdot \dfrac{2-\dfrac a4}{-a}+\left(2-\dfrac a4\right)-\left(-\dfrac a2+2\right)^2=8+a,$$ 解得 $a=-8$．

情形二    $a=0$．此时 $\Gamma$ 是直线 $y=\sqrt 2$，$l$ 值直线 $y=2$，没有公共点．

情形三     $0<a<8$．此时 $\Gamma$ 是实轴为与 $y$ 轴平行的双曲线的上支

$$\dfrac{y^2}{2-\dfrac a4}-\dfrac{\left(x-\dfrac 12\right)^2}{\dfrac{2-\dfrac a4}{a}}=1,$$ 点 $(1,2)$ 恒在其内部，而该双曲线渐近线为 $y=\pm \sqrt a\left(x-\dfrac 12\right)$，因此当 $0<a<1$ 时，直线 $l$ 与 $\Gamma$ 有两个公共点，当 $1\leqslant a<8$ 时，直线 $l$ 与 $\Gamma$ 有唯一公共点．

情形四    $a=8$．此时 $\Gamma:y=\left|2\sqrt 2x-\sqrt 2\right|$，直线 $l$ 与 $\Gamma$ 有唯一公共点．

情形五     $a>8$．此时 $\Gamma$ 是实轴在 $x$ 轴上的双曲线的 $x$ 轴上方（包括轴上）的部分

$$\dfrac{\left(x-\dfrac 12\right)^2}{\dfrac{\dfrac a4-2}{a}}-\dfrac{y^2}{\dfrac a4-2}=1,$$ 此时点 $(1,2)$ 恒在其外部，等效判别式 $$\Delta = -a^2\cdot \dfrac{\dfrac a4-2}{a}+\left(\dfrac a4-2\right)+\left(-\dfrac a2+2\right)^2=8+a>0,$$ 考虑到双曲线的实轴右顶点为 $\left(\dfrac 12+\sqrt{\dfrac{a-8}{4a}},0\right)$，因此直线 $l$ 与 $\Gamma$ 恒有一个公共点．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\{-8\}\cup[1,+\infty)$．