每日一题[1875]轮番差分

已知 $a,b,c,d,e$ 都是正实数，$f(x)=ax^2+bx+c$，$g(x)=dx+e$，对于任意整数 $n$，$\dfrac{f(n)}{g(n)}$ 都是整数，求证：$g(x)$ 整除 $f(x)$．

解析    设 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=px+q+\dfrac{r}{dx+e}$，则

$$h(n)=\dfrac{f(n+1)}{g(n+1)}-\dfrac{f(n)}{g(n)}=p-\dfrac{dr}{g(n)g(n+1)},$$ 进而 $$h(n+1)-h(n)=\dfrac{dr(g(n+2)-g(n))}{g(n)g(n+1)g(n+2)}=\dfrac{2d^2r}{g(n)g(n+1)g(n+2)},$$ 若 $r\ne 0$，则当 $n$ 足够大时，右侧必然落在区间 $(-1,1)$ 内，且不为 $0$，这与 $h(n+1)-h(n)$ 是整数矛盾，因此 $r=0$，有 $g(x)$ 整除 $f(x)$．