已知函数 f(x)=ex−ax.
1、当 a>0 时,设函数 f(x) 的最小值为 g(a),求证:g(a)⩽1.
2、若函数 h(x)=f(x)−12x2 有两个极值点 x1,x2(x1<x2),证明:h(x1)+h(x2)>2.
解析
1、函数 f(x) 的导函数f′(x)=ex−a,于是其最小值为 f(lna)=a−alna,而a−alna⩽1⟺lna⩾1−1a,这显然成立,命题得证.
2、根据题意,有 a>1,x1<0<x2,且ex1−a−x1=ex2−a−x2=0,问题的关键是把欲证不等式左边变成单变量函数.构造函数 μ(x)=h′(x)−h′(−x),则 μ(0)=0,且其导函数μ′(x)=h″于是 \mu(x) 单调递增,从而当 x>0 时,\mu(x)>0;当 x<0 时,\mu(x)<0,因此\mu(x_1)<0\implies h'(x_1)=h'(x_2)>h'(-x_2)\implies x_1<-x_2,由于 h(x) 在 (x_1,x_2) 上单调递减,于是h(x_1)+h(x_2)>h(x_2)+h(-x_2)={\rm e}^{x_2}+\dfrac{1}{{\rm e}^{x_2}}-x_2^2,记 r(x)={\rm e}^x+\dfrac{1}{{\rm e}^x}-x^2,则其导函数r'(x)={\rm e}^x-\dfrac{1}{{\rm e}^x}-2x,其二阶导函数r''(x)={\rm e}^x+\dfrac{1}{{\rm e}^x}-2\geqslant 0,于是 r'(x) 有唯一零点 x=0,进而 r(x) 的极小值,也为最小值是 r(0)=2,命题得证.