每日一题[1837]三次方程

若复数 $z$ 的虚部不为 $0$，且 $z^3+z+1=0$，则（       ）

A．$|z|<1$

B．$|z|=1$

C．$1<|z|<\sqrt 2$

D．$|z|\geqslant \sqrt 2$

答案    C．

解析    根据题意，$z,\overline z$ 是关于 $t$ 的方程 $t^3+t+1=0$ 的虚根，而其实根在 $\left(-1,-\dfrac 12\right)$ 中，根据韦达定理，可得 $z\cdot \overline z$ 在 $(1,2)$ 中，因此 $1<|z|<\sqrt 2$．