每日一题[1790]异面垂直

正三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$D$ 为 $AC$ 的中点．

1、证明：$AB_{1}\parallel BDC_{1}$．

2、当 $\dfrac{AA_{1}}{AB}$ 取何值时，$AB_{1}$ 与 $BC_{1}$ 垂直？

解析

1、连接 $B_1C$ 与 $BC_1$ 交于点 $E$，连接 $DE$，如图．

由于 $E$ 平分 $B_1C$，$D$ 平分 $AC$，于是 $AB_1\parallel DE$，从而 $AB_1\parallel BDC_1$．

2、根据空间余弦定理，有

$$AB_1\perp BC_1\iff AB^2+B_1C_1^2=BB_1^2+AC_1^2,$$ 设 $AA_1=x$，$AB=1$，则 $$1^2+1^2=x^2+(1^2+x^2)\implies x=\dfrac {\sqrt 2}2,$$ 因此所求比值为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．