每日一题[1770]暗藏均值

已知当 $x\in[0,1]$ 时，不等式 $x^2\cos\theta-x(1-x)+(1-x)^2\sin\theta>0$ 恒成立，试求 $\theta$ 的取值范围．

答案    $\displaystyle\bigcup_{k\in \mathbb Z}\left[\dfrac{\pi}{12}+2k\pi,\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi\right]$．

解析    设题中不等式的左侧为 $f(x)$，则 $$\begin{cases} f(0)>0,\\ f(1)\geqslant 0,\end{cases} \iff \begin{cases}\sin\theta>0,\\ \cos\theta>0.\end{cases}$$ 当 $0<x<1$ 时，题中不等式即 $$\dfrac x{1-x}\cdot \cos\theta+\dfrac{1-x}x\cdot \sin\theta>1,$$ 而 $$LHS\geqslant 2\sqrt{\sin\theta\cos\theta},$$ 等号当 $\dfrac{x}{1-x}=\sqrt{\tan\theta}$ 时取得，因此左侧代数式的最小值为 $2\sqrt{\sin\theta\cos\theta}$，而 $$2\sqrt{\sin\theta\cos\theta}>1\iff \sin 2\theta>\dfrac 12,$$ 因此 $\theta$ 的取值范围是 $\displaystyle\bigcup_{k\in \mathbb Z}\left[\dfrac{\pi}{12}+2k\pi,\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi\right]$．