已知当 $x\in[0,1]$ 时，不等式 $x^2\cos\theta-x(1-x)+(1-x)^2\sin\theta>0$ 恒成立，试求 $\theta$ 的取值范围．
答案 $\displaystyle\bigcup_{k\in \mathbb Z}\left[\dfrac{\pi}{12}+2k\pi,\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi\right]$．
解析 设题中不等式的左侧为 $f(x)$，则\[\begin{cases} f(0)>0,\\ f(1)\geqslant 0,\end{cases} \iff \begin{cases}\sin\theta>0,\\ \cos\theta>0.\end{cases}\]当 $0<x<1$ 时，题中不等式即\[\dfrac x{1-x}\cdot \cos\theta+\dfrac{1-x}x\cdot \sin\theta>1,\]而\[LHS\geqslant 2\sqrt{\sin\theta\cos\theta},\]等号当 $\dfrac{x}{1-x}=\sqrt{\tan\theta}$ 时取得，因此左侧代数式的最小值为 $2\sqrt{\sin\theta\cos\theta}$，而\[2\sqrt{\sin\theta\cos\theta}>1\iff \sin 2\theta>\dfrac 12,\]因此 $\theta$ 的取值范围是 $\displaystyle\bigcup_{k\in \mathbb Z}\left[\dfrac{\pi}{12}+2k\pi,\dfrac{5\pi}{12}+2k\pi\right]$．