每日一题[1763]有理解

方程组 $\begin{cases}x+y+z=0,\\ xyz+z=0,\\ xy+yz+xz+y=0,\end{cases}$ 的有理数解 $(x,y,z)$ 的个数为_______．

答案    $2$．

解析    根据题意，$x,y,z$ 是关于 $t$ 的方程

$$t^3-yt+z=0$$ 的三个有理根．将 $t=z$ 代入，有 $$z^3-yz+z=0\iff z(z^2-y+1)=0.$$

情形一    $z=0$．此时将 $t=y$ 代入，有

$$y^3-y^2=0\implies y=0\lor y=1,$$ 对应解得 $(x,y,z)=(0,0,0),(-1,1,0)$．

情形二    $z\ne 0$．此时 $y=z^2+1$，又 $z=y^2-y^3$，于是

$$y=(y^2-y^3)^2+1,$$ 此关于 $y$ 的方程若有有理根，只可能为 $y=\pm 1$，进一步可得不符合题意． 综上所述，所求有理解的个数为 $2$．