对抛物线的任意三条不同切线，设切点分别为\(A,B,C\)，切线两两的交点分别为\(A_1,B_1,C_1\)，则\[S_{\triangle ABC}:S_{\triangle A_1B_1C_1}=2:1.\]
抛物线有一条常用的性质，在高考题中出场率非常高：
引理：过抛物线外一点\(T_0\)引抛物线的两条切线，切点分别为\(T_1\)、\(T_2\)，则\(T_0\)、\(T_1\)、\(T_2\)的横坐标\(x_0\)、\(x_1\)、\(x_2\)满足\[x_0=\frac {x_1+x_2}2.\]
引理的证明：设\(T_0(x_0,y_0)\)，抛物线\(x^2=2py\)，则直线\(T_1T_2\)的方程为\[x_0x=p(y+y_0).\]将此方程与抛物线联立得\[x^2-2x_0x+2py_0=0.\]由韦达定理即得．
由引理，不难得到\(\triangle ABC\)的“水平宽”是\(\triangle A_1B_1C_1\)的\(2\)倍．因此我们只需要证明它们的“铅直高”相等．
备注：“水平宽”、“铅直高”是计算三角形面积的一种方法：
设\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)、\(C(x_3,y_3)\)，则\[\begin{split}B_1C_1:x_1x&=p(y+y_1),\\C_1A_1:x_2x&=p(y+y_2),\\A_1B_1:x_3x&=p(y+y_3).\end{split}\] 另一方面，有\[AC:y=\frac {y_1-y_3}{x_1-x_3}x+\frac {x_1y_3-x_3y_1}{x_1-x_3}\]以及\[B_1\left(p\cdot\frac {y_1-y_3}{x_1-x_3},\frac {x_3y_1-x_1y_3}{x_1-x_3}\right).\]于是我们只需要证明\[\frac {y_1-y_3}{x_1-x_3}\cdot x_2+\frac {x_1y_3-x_3y_1}{x_1-x_3}-y_2=\frac {y_1-y_3}{x_1-x_3}\cdot x_2-y_2-\frac {x_3y_1-x_1y_3}{x_1-x_3}.\]很明显，这是相等的，于是原命题得证．
如图所示，设抛物线方程为
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = 2p{t^2}\\
y = 2pt
\end{array} \right.\left( {t为参数} \right)\]
\(P_i(2pt_i^2,2pt_i)\)\((i=1,2,3)\)为其上任意三点，过\(P_i\)的切线为
\[2{t_i}y = x + 2p{t_i}^2\]
过\(P_i\)与\(P_j\)两切线的交点\((2pt_it_j,p(t_i+t_j))\)，有
\[2{S_{\triangle {P_1}{P_2}{P_3}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2p{t_1}^2}}&1\\
{2p{t_2}^2}}&1\\
{2p{t_3}^2}}&1
\end{array}} \right| = \color{blue}{4}{p^2}\left| {\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\left( {{t_2} - {t_3}} \right)\left( {{t_3} - {t_1}} \right)} \right|\]
\[2{S_{\triangle {Q_1}{Q_2}{Q_3}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2p{t_1}{t_2}}+ {t_2}} \right)}&1\\
{2p{t_2}{t_3}}+ {t_3}} \right)}&1\\
{2p{t_1}{t_3}}+ {t_3}} \right)}&1
\end{array}} \right| = \color{blue}{2}{p^2}\left| {\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\left( {{t_2} - {t_3}} \right)\left( {{t_3} - {t_1}} \right)} \right|\]