对抛物线的任意三条不同切线，设切点分别为A,B,C，切线两两的交点分别为A1,B1,C1，则S△ABC:S△A1B1C1=2:1.
抛物线有一条常用的性质，在高考题中出场率非常高：
引理：过抛物线外一点T0引抛物线的两条切线，切点分别为T1、T2，则T0、T1、T2的横坐标x0、x1、x2满足x0=x1+x22.
引理的证明：设T0(x0,y0)，抛物线x2=2py，则直线T1T2的方程为x0x=p(y+y0).
将此方程与抛物线联立得x2−2x0x+2py0=0.
由韦达定理即得．
由引理，不难得到△ABC的“水平宽”是△A1B1C1的2倍．因此我们只需要证明它们的“铅直高”相等．
备注：“水平宽”、“铅直高”是计算三角形面积的一种方法：
设A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则B1C1:x1x=p(y+y1),C1A1:x2x=p(y+y2),A1B1:x3x=p(y+y3).
另一方面，有AC:y=y1−y3x1−x3x+x1y3−x3y1x1−x3
以及B1(p⋅y1−y3x1−x3,x3y1−x1y3x1−x3).
于是我们只需要证明y1−y3x1−x3⋅x2+x1y3−x3y1x1−x3−y2=y1−y3x1−x3⋅x2−y2−x3y1−x1y3x1−x3.
很明显，这是相等的，于是原命题得证．
如图所示，设抛物线方程为
{x=2pt2y=2pt(t为参数)
Pi(2pt2i,2pti)(i=1,2,3)为其上任意三点，过Pi的切线为
2tiy=x+2pti2
过Pi与Pj两切线的交点(2ptitj,p(ti+tj))，有
2{S_{\triangle {P_1}{P_2}{P_3}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2p{t_1}^2}}&1\\ {2p{t_2}^2}}&1\\ {2p{t_3}^2}}&1 \end{array}} \right| = \color{blue}{4}{p^2}\left| {\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\left( {{t_2} - {t_3}} \right)\left( {{t_3} - {t_1}} \right)} \right|
2{S_{\triangle {Q_1}{Q_2}{Q_3}}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2p{t_1}{t_2}}+ {t_2}} \right)}&1\\ {2p{t_2}{t_3}}+ {t_3}} \right)}&1\\ {2p{t_1}{t_3}}+ {t_3}} \right)}&1 \end{array}} \right| = \color{blue}{2}{p^2}\left| {\left( {{t_1} - {t_2}} \right)\left( {{t_2} - {t_3}} \right)\left( {{t_3} - {t_1}} \right)} \right|