每日一题[1717]外接球半径公式

已知四面体 $ABCD$ 的棱长分别为 $6,6,6,6,6,9$，则其外接球的半径为（       ）

A．$2\sqrt 5$

B．$\sqrt {21}$

C．$2\sqrt 6$

D．$5$

答案    B．

解析    不妨设 $AB=9$，其余各棱长为 $6$，则 $\angle CAD=\angle CBD=60^\circ$，二面角 $A-CD-B$ 的大小 $\theta=120^\circ$，因此其外接球半径

$$R=\dfrac{CD}{2\sin\angle CAD\sin\angle CBD\sin\theta}\sqrt{1-(\cos\angle CAD\cos\angle CBD+\sin\angle CAD\sin\angle CBD\cos\theta)^2}=\dfrac{\sqrt{13}}4.$$