每日一题[1656]密不透风

集合 $A$ 是由 $\{1,2,3,\cdots,50\}$ 中的 $40$ 个元素组成的子集，$S$ 为集合 $A$ 中的所有元素之和，则 $S$ 的取值个数为_______．

答案    $401$．

解析    $S$ 可以取遍从 $1+2+\cdots+40$ 到 $11+12+\cdots+50$ 中的每个整数（具体的构造可以从 $11,12,\cdots,50$ 中的数从前到后依次减 $1$，得到 $10,11,\cdots,49$，然后再将其中的数从前到后依次减 $1$，依次类推，直到最后得到 $1,2,\cdots,40$，这样就得到了所有中间值），因此 $S$ 的取值个数为

$$(11+12+\cdots+50)-(1+2+\cdots+40)+1=401.$$