每日一题[1641]约数个数

从正 $1680$ 边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为_______．

答案    $3432$．

解析    所求正多边形的个数为 $1680$ 的约数个数减去 $1680$ 和 $\dfrac{1680}2$．考虑到 $1680=2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7$，于是所求个数为\[(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)(3^0+3^1)(5^0+5^1)(7^0+7^1)-1680-\dfrac{1680}2=3432.\]