每日一题[1611]定界符

已知双曲线 $\dfrac {x^2}{a^2}-\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$），$A_1,A_2$ 是实轴顶点，$F$ 是右焦点，$B(0,b)$ 是虚轴端点，若在线段 $BF$ 上（不含端点）存在不同的两点 $P_i$（$i=1,2$），使得 $\triangle P_iA_1A_2$（$i=1,2$）构成以 $A_1A_2$ 为斜边的直角三角形，则双曲线的离心率 $e$ 的取值范围是_______．

答案    $\left(\sqrt 2,\dfrac{\sqrt 5+1}2\right)$

解析    根据题意，以 $A_1A_2$ 为直径的圆 $O$ 与线段 $BF$ 交于两点．考虑两个分界情形：其一为圆 $O$ 与线段 $BF$ 交于点 $B$；其二为圆 $O$ 与线段 $BF$ 相切．易得第一种情形下双曲线的离心率 $e=\sqrt 2$．在第二种情形下圆 $O:x^2+y^2=a^2$，直线 $BF:bx+cy-bc=0$，根据等效判别式，有

$$a^2b^2+a^2c^2-b^2c^2=0\implies e^4-3e^2+1=0\implies e^2=\dfrac{3+\sqrt 5}2\implies e=\dfrac{\sqrt 5+1}2,$$ 进而可得双曲线 $e$ 的取值范围是 $\left(\sqrt 2,\dfrac{\sqrt 5+1}2\right)$．