已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)过点 $P(-2,1)$,且离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$.过点 $P$ 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 $A,B$ 两点($A,B$ 与点 $P$ 不重合).求证:直线 $AB$ 过定点,并求该定点的坐标.
答案 定点坐标为 $\left(-\dfrac 23,-\dfrac 13\right)$.
解析 过点 $P(-2,1)$,且离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$ 的椭圆为 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$.以 $P$ 为坐标原点建立新坐标系 $x'Py'$,且 $x'=x+2$,$y'=y-1$,则\[C':\dfrac{(x'-2)^2}6+\dfrac{(y'+1)^2}3=1\iff \dfrac {x'^2}6+\dfrac{y'^2}3-\dfrac23x'+\dfrac23y'=0,\]与直线 $A'B':mx'+ny'=1$ 化齐次建立,可得\[\dfrac{x'^2}6+\dfrac{y'^2}3+\left(-\dfrac 23x'+\dfrac 23y'\right)(mx'+ny')=0,\]结合 $AP'\perp BP'$,可得\[\dfrac 16+\dfrac 13-\dfrac{2m}3+\dfrac{2n}3=0,\iff \dfrac {4m}3-\dfrac{4n}3=1,\]于是直线 $A'B'$ 恒过点 $R'\left(\dfrac 43,-\dfrac 43\right)$,即原坐标系下的 $R\left(-\dfrac 23,-\dfrac 13\right)$.