每日一题[1596]齐次联立

已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $P(-2,1)$，且离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$．过点 $P$ 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 $A,B$ 两点（$A,B$ 与点 $P$ 不重合）．求证：直线 $AB$ 过定点，并求该定点的坐标．

答案    定点坐标为 $\left(-\dfrac 23,-\dfrac 13\right)$．

解析    过点 $P(-2,1)$，且离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$ 的椭圆为 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1$．以 $P$ 为坐标原点建立新坐标系 $x'Py'$，且 $x'=x+2$，$y'=y-1$，则

$$C':\dfrac{(x'-2)^2}6+\dfrac{(y'+1)^2}3=1\iff \dfrac {x'^2}6+\dfrac{y'^2}3-\dfrac23x'+\dfrac23y'=0,$$ 与直线 $A'B':mx'+ny'=1$ 化齐次建立，可得 $$\dfrac{x'^2}6+\dfrac{y'^2}3+\left(-\dfrac 23x'+\dfrac 23y'\right)(mx'+ny')=0,$$ 结合 $AP'\perp BP'$，可得 $$\dfrac 16+\dfrac 13-\dfrac{2m}3+\dfrac{2n}3=0,\iff \dfrac {4m}3-\dfrac{4n}3=1,$$ 于是直线 $A'B'$ 恒过点 $R'\left(\dfrac 43,-\dfrac 43\right)$，即原坐标系下的 $R\left(-\dfrac 23,-\dfrac 13\right)$．