每日一题[1594]最大距离

求最大的正整数 $n$，将正整数 $1$ 到 $400$ 任意填入 $20\times 20$ 的 $400$ 个方格中，则总有一行或一列，其中两个数之差不小于 $n$．

答案    $209$．

解析    将正方形表格分为 $20\times 10$ 的两个矩形表格，然后将 $1$ 到 $200$ 依次逐行按照从小到大的顺序填入左侧表格，同理将 $201$ 到 $400$ 填入右侧表格，则在此表格中，每行中两数之差不大于 $209$，每列中两数之差不大于 $190$，所以 $n\leqslant 209$． 令 $M=\{1,2,\cdots,91\}$，$N=\{300,301,\cdots,400\}$，易知，若集合 $M,N$ 中各有一个数位于表格的同一行或同一列，则两数之差不小于 $209$，因此只需证明在表格的每一行及每一列中必有集合 $M,N$ 中各一个数． 设表格已经任意填好，表格中共有 $i$ 行 $j$ 列含有 $M$ 中的数，表格中共有 $k$ 行 $l$ 列含有 $N$ 中的数，则

$$i+j\geqslant 2\sqrt{ij}\geqslant 2\sqrt{91}>19,$$ 即 $i+j\geqslant 20$，同理 $$k+l\geqslant 2\sqrt{kl}\geqslant 2\sqrt{101}>20,$$ 因此 $$i+j+k+l\geqslant 41,$$ 利用抽屉原理，必有一行或一列，同时含有两个集合中的各一个数，命题得证． 总上所述，$n=209$．