每日一题[1524]对数平均不等式

设函数 $f(x)=x-\dfrac{2}{x}-a\ln x$（$a \in \mathbb{R}$，$a>0$）．

1、讨论 $f(x)$ 的单调性．

2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$，记过点 $A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2)$ 的直线的斜率为 $k$，问：是否存在 $a$，使得 $k=2-a$？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由．

解析     

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{x^2-ax+2}{x^2},$$ 于是讨论分界点为 $a=0,2\sqrt 2$．

情形一      $a\leqslant 2\sqrt 2$，此时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．

情形二      $a>2\sqrt 2$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}2\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}2,\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}2,+\infty\right)$ 上单调递增．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，$a>2\sqrt{2}$．此时 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程

$$x^2-ax+2=0$$ 的两根，于是 $$k=2-a,$$ 即 $$\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=2-a,$$ 也即 $$1+\dfrac{2}{x_1x_2}-a\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}=2-a.$$ 由韦达定理可知 $$x_1x_2=2,$$ 于是题意即 $$\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}=1.$$ 而根据对数平均不等式，有 $$\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}< \dfrac{1}{\sqrt{x_1x_2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}<1,$$ 因此不存在符合题意的实数 $a$．