设函数 $f(x)=x-\dfrac{2}{x}-a\ln x$（$a \in \mathbb{R}$，$a>0$）．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1$ 和 $x_2$，记过点 $A(x_1,f(x_1))$，$B(x_2,f(x_2)$ 的直线的斜率为 $k$，问：是否存在 $a$，使得 $k=2-a$？若存在，求出 $a$ 的值，若不存在，请说明理由．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x^2-ax+2}{x^2},\]于是讨论分界点为 $a=0,2\sqrt 2$．
情形一 $a\leqslant 2\sqrt 2$，此时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．
情形二 $a>2\sqrt 2$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}2\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-8}}2,\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{a+\sqrt{a^2-8}}2,+\infty\right)$ 上单调递增．
2、根据第 $(1)$ 小题的结果，$a>2\sqrt{2}$．此时 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程\[x^2-ax+2=0\]的两根，于是\[k=2-a,\]即\[\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=2-a,\]也即\[1+\dfrac{2}{x_1x_2}-a\cdot \dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}=2-a.\]由韦达定理可知\[x_1x_2=2,\]于是题意即\[\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}=1.\]而根据对数平均不等式，有\[\dfrac{\ln x_1-\ln x_2}{x_1-x_2}< \dfrac{1}{\sqrt{x_1x_2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}<1,\]因此不存在符合题意的实数 $a$．