每日一题[1505]此起彼伏

已知 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，函数 $f(x)=[2\sin x\cos x]+[\sin x+\cos x]$ 的值域为_______．

答案       $\{-2,-1,1,2\}$．

解析       题中函数

$$f(x)=[\sin 2x]+\left[\sqrt 2\sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right)\right],$$ 显然函数 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的函数，且关于 $x=\dfrac{\pi}4$ 对称，于是只需要考虑 $x\in\left[\dfrac{\pi}4,\dfrac{5\pi}4\right)$ 的情形．分类可得 $$f(x)=\begin{cases} 2,&x=\dfrac{\pi}4,\\ 1,&x\in\left(\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right],\\ -1,&x\in\left(\dfrac{\pi}2,\dfrac{3\pi}4\right],\\ -2,&x\in\left(\dfrac{3\pi}4,\pi\right),\\ -1,&x=\pi,\\ -2,&x\in\left(\pi,\dfrac{5\pi}4\right),\end{cases}$$ 因此所求值域为$\{-2，-1，1，2\}．