每日一题[1499]矩形的性质

1、已知 $P$ 是矩形 $ABCD$ 所在平面上的一点，则有 $PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$ ．试证明该命题．

2、将上述命题推广到 $P$ 为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明．

3、将矩形 $ABCD$ 进一步推广到长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ ，并利用第 $(2)$ 小题得到的命题建立并证明一个新命题．

解析

1、不妨设 $A(0,0)$ ， $B(a,0)$ ， $C(a,b)$ ， $D(0,b)$ ， $P(x,y)$ ，则

P A^{2} + P C^{2} = x^{2} + y^{2} + (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = P B^{2} + P D^{2},

$PA^2+PC^2=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-b)^2=PB^2+PD^2,$ 命题成立．

2、不妨设 $A(0,0,0)$ ， $B(a,0,0)$ ， $C(a,b,0)$ ， $D(0,b,0)$ ， $P(x,y,z)$ ，则

P A^{2} + P C^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + z^{2} = P B^{2} + P D^{2},

$PA^2+PC^2=x^2+y^2+z^2+(x-a)^2+(y-b)^2+z^2=PB^2+PD^2,$ 命题成立．

3、在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中， $ABCD$ 与 $A_1B_1C_1D_1$ 均为矩形，于是

{\begin{cases} P A^{2} + P C^{2} = P B^{2} + P D^{2}, \\ P A_{1}^{2} + P C_{1}^{2} = P B_{1}^{2} + P D_{1}^{2}, \end{cases}

$\begin{cases} PA^2+PC^2=PB^2+PD^2,\\ PA_1^2+PC_1^2=PB_1^2+PD_1^2,\end{cases}$ 于是

P A^{2} + P C^{2} + P B_{1}^{2} + P D_{1}^{2} = P B^{2} + P D^{2} + P A_{1}^{2} + P C_{1}^{2} .

$PA^2+PC^2+PB_1^2+PD_1^2=PB^2+PD^2+PA_1^2+PC_1^2.$

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