每日一题[1491]四点共圆

如图，$F_1,F_2$ 是双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于 $A,B$．又设 $O$ 为坐标原点．

1、求证：$|OA|\cdot |OB| =| OF_1| ^2$．

2、求证：$F_1,F_2,A,B$ 四点在一个圆上．

证明   

1、 双曲线方程即\[2x^2-\dfrac{y^2}2=2,\]于是根据双曲线的相交直线面积定义，$\triangle OAB$ 的面积为定值 $2$，又\[\sin\angle AOB=\dfrac{2\tan\angle AOx}{1+\tan^2\angle AOx}=\dfrac 45,\]于是\[\dfrac 12\cdot \sin\angle AOB\cdot |OA|\cdot |OB|=2,\]即\[|OA|\cdot |OB|=5=|OF_1|^2,\]命题得证．

2、如图．

根据题意，有\[\begin{cases} \dfrac{|OA|}{|OF_1|}=\dfrac{|OF_1|}{|OB|},\\ \angle AOF_1=\angle F_1OB, \end{cases}\]于是 $\triangle OAF_1$ 与 $\triangle OF_1B$ 相似，同理 $\triangle OAF_2$ 与 $\triangle OF_2B$ 相似，进而\[\angle F_1AF_2=\angle F_1AO+\angle F_2AO=\angle BF_1O+\angle BF_2O=\pi-\angle F_1BF_2,\]因此 $F_1,F_2,A,B$ 四点共圆，命题得证．