设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3-17x-18=0$ 的三个根，$-4<x_1<-3$，且 $4<x_3<5$．
1、求 $x_2$ 的整数部分．
2、求 $\arctan x_1+\arctan x_2 + \arctan x_3$ 的值．
解析
1、根据韦达定理，有\[x_1+x_2+x_3=0,\]于是\[-2<x_2<0,\]列表有\[\begin{array}{c|ccc}\hline x&-2&-1&0\\ \hline f(x)&8&-2&-18 \\ \hline \end{array}\] 于是 $x_2$ 的整除部分为 $-2$．
2、设 $\arctan x_i=\theta_i$（$i=1,2,3$），则根据题意，有\[\begin{cases} -\dfrac{\pi}2<\theta_1<\theta_2<-\dfrac{\pi}4,\\ \dfrac{\pi}4<\theta_3<\dfrac{\pi}2,\end{cases}\]于是\[-\dfrac{3\pi}4<\theta_1+\theta_2+\theta_3<0.\]又\[\begin{split} \tan(\theta_1+\theta_2+\theta_3)&=\dfrac{\tan(\theta_1+\theta_2)+\tan\theta_3}{1-\tan(\theta_1+\theta_2)\cdot\tan\theta_3}\\ &=\dfrac{\dfrac{x_1+x_2}{1-x_1x_2}+x_3}{1-\dfrac{x_1+x_2}{1-x_1x_2}\cdot x_3}\\ &=\dfrac{x_1+x_2+x_3-x_1x_2x_3}{1-(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)}\\ &=\dfrac{0-18}{1-(-17)}\\ &=-1,\end{split}\]于是\[\arctan x_1+\arctan x_2 + \arctan x_3=\theta_1+\theta_2+\theta_3=-\dfrac{\pi}4.\]