2011年高考福建卷理科数学第10题（选择压轴题）：
已知函数\(f(x)={\mathrm e}^x+x\)，对于曲线\(y=f(x)\)上横坐标成等差数列的三个点\(A\)、\(B\)、\(C\)，给出以下判断：
① 三角形\(ABC\)一定是钝角三角形；
② 三角形\(ABC\)可能是直角三角形；
③ 三角形\(ABC\)可能是等腰三角形；
④ 三角形\(ABC\)不可能是等腰三角形．
其中，正确的判断是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
正确的答案是B．
考虑函数\[f'(x)={\mathrm e}^x+1,f'^\prime (x)={\mathrm e}^x,\]因此函数的草图如图．因为在定义域\(\mathcal R\)上，\(f'(x)>0\)，于是\(f(x)\)单调递增，有\[y_1<y_2<y_3,\]于是三角形\(ABC\)中，边\(AB\)和边\(BC\)所在的直线的斜率均为正值，于是角\(B\)的外角一定为锐角，进而三角形\(ABC\)一定为钝角三角形．
接下来，在三角形\(ABC\)一定为钝角三角形的前提下，若该三角形为等腰三角形则一定以\(AB\)、\(BC\)为腰．由于在定义域\(\mathcal R\)上，\(f'^\prime (x)>0\)，于是\(f'(x)\)单调递增，进而不难得到\[\begin{split}y_2-y_1&=\int_{x_1}^{x_2}{f'(x)}{\mathrm d}x\\&<\left(x_2-x_1\right)f'(x_2)\\&<\int_{x_2}^{x_3}{f'(x)}{\mathrm d}x\\&=y_3-y_2,\end{split}\]因此\[\begin{split}AB&=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\\&<\sqrt{\left(x_3-x_2\right)^2+\left(y_3-y_2\right)^2}\\&=BC,\end{split}\]因此三角形\(ABC\)一定不可能是等腰三角形．
综上，①④正确，选B．
补充解法（2016.8.30)
设直线$AB,BC$的斜率分别为$k_{AB},k_{BC}$．
由于函数$f(x)$单调递增，于是$k_{AB},k_{BC}>0$，因此直线$AB$和直线$BC$的倾斜角之差为锐角，进而$\angle ABC$为钝角，命题①正确，命题②错误．
由于$\triangle ABC$为钝角三角形，因此如果它是等腰三角形，那么一定有$AB=BC$，从而$$\sqrt{1+k_{AB}^2}\cdot |x_A-x_B|=\sqrt{1+k_{BC}^2}\cdot |x_B-x_C|,$$结合$k_{AB},k_{BC}>0$，有$k_{AB}=k_{BC}$，进而$A,B,C$三点共线，矛盾．因此$\triangle ABC$不可能为等腰三角形．因此命题③错误，命题④正确．
综上所述，正确的判断是①④．