每日一题[125]曲线内接三角形

2011年高考福建卷理科数学第10题（选择压轴题）：

已知函数$f(x)={\mathrm e}^x+x$，对于曲线$y=f(x)$上横坐标成等差数列的三个点$A$、$B$、$C$，给出以下判断：

① 三角形$ABC$一定是钝角三角形；

② 三角形$ABC$可能是直角三角形；

③ 三角形$ABC$可能是等腰三角形；

④ 三角形$ABC$不可能是等腰三角形．

其中，正确的判断是（        ）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

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正确的答案是B．

考虑函数

$$f'(x)={\mathrm e}^x+1,f'^\prime (x)={\mathrm e}^x,$$ 因此函数的草图如图．因为在定义域$\mathcal R$上，$f'(x)>0$，于是$f(x)$单调递增，有 $$y_1<y_2<y_3,$$ 于是三角形$ABC$中，边$AB$和边$BC$所在的直线的斜率均为正值，于是角$B$的外角一定为锐角，进而三角形$ABC$一定为钝角三角形．

接下来，在三角形$ABC$一定为钝角三角形的前提下，若该三角形为等腰三角形则一定以$AB$、$BC$为腰．由于在定义域$\mathcal R$上，$f'^\prime (x)>0$，于是$f'(x)$单调递增，进而不难得到

$$\begin{split}y_2-y_1&=\int_{x_1}^{x_2}{f'(x)}{\mathrm d}x\\&<\left(x_2-x_1\right)f'(x_2)\\&<\int_{x_2}^{x_3}{f'(x)}{\mathrm d}x\\&=y_3-y_2,\end{split}$$ 因此 $$\begin{split}AB&=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\\&<\sqrt{\left(x_3-x_2\right)^2+\left(y_3-y_2\right)^2}\\&=BC,\end{split}$$ 因此三角形$ABC$一定不可能是等腰三角形．

综上，①④正确，选B．

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补充解法（2016.8.30)

设直线$AB,BC$的斜率分别为$k_{AB},k_{BC}$．

由于函数$f(x)$单调递增，于是$k_{AB},k_{BC}>0$，因此直线$AB$和直线$BC$的倾斜角之差为锐角，进而$\angle ABC$为钝角，命题①正确，命题②错误．

由于$\triangle ABC$为钝角三角形，因此如果它是等腰三角形，那么一定有$AB=BC$，从而

$$\sqrt{1+k_{AB}^2}\cdot |x_A-x_B|=\sqrt{1+k_{BC}^2}\cdot |x_B-x_C|,$$ 结合$k_{AB},k_{BC}>0$，有$k_{AB}=k_{BC}$，进而$A,B,C$三点共线，矛盾．因此$\triangle ABC$不可能为等腰三角形．因此命题③错误，命题④正确．

综上所述，正确的判断是①④．