每日一题[1436]函数的零点

设关于 $x$ 的方程 $x^2-2ax|x-a|-2ax+1=0$ 有 $3$ 个互不相同的实根，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）

A．$[1,+\infty)$

B．$(-\infty,-1]$

C．$[-1,0)\cup (0,1]$

D．前三个答案都不对

答案 D．

解析 记 $f(x)=x^2-2ax|x-a|-2ax+1$，则 $$f(x)=\begin{cases} (1+2a)x^2-2a(a+1)x+1,&x\leqslant a,\\ (1-2a)x^2+2a(a-1)x+1,&x>a,\end{cases}$$ 考虑 $x\to -\infty,a,+\infty$ 的值函数值正负，而[f(a)=-a^2+1,]讨论分界点为 $a=-1,-\dfrac 12,\dfrac 12,1$．再考虑两端上的最小值 $$\begin{split} m(a)&=\dfrac{a^4-2a^3+a^2+2a-1}{2a-1},\ n(a)&=\dfrac{-a^4-2a^3-2a^2+2a+1}{2a+1},\end{split}$$ 分析可得 $m(a)$ 的零点为 $a_1,a_2$，$n(a)$ 的零点为 $-a_2,-a_1$，其中 $$a_1\approx =-0.8832,a_2\approx 0.4690,$$ 可得所求实数 $a$ 的取值范围是 $(-1,a_1)\cup(-a_1,1)$．

备注 取 $a=1$，则 $$f(x)=\begin{cases} 3x^2-4x+1,&x\leqslant 1,\\ -x^2+1,&x>1,\end{cases}$$ 于是 $f(x)$ 只有 $2$ 个零点 $x=-1,-\dfrac 13$，不符合题意，故选项 ABC 均不正确．