每日一题[1423]根式的整理

已知 $a>1$，$b>2$，则 $m=\dfrac{(a+b)^2}{\sqrt{a^2-1}+\sqrt{b^2-4}}$ 的最小值为_______．

答案    $6$．

解法一    设 $\sqrt{a^2-1}=x$，$\sqrt{b^2-4}=y$，则

$$a=\sqrt{x^2+1},b=\sqrt{y^2+4},$$ 于是 $$\begin{split} m&=\dfrac{x^2+y^2+5+2\sqrt{(x^2+1)(y^2+4)}}{x+y}\\ &\geqslant \dfrac{x^2+y^2+5+2\cdot (xy+2)}{x+y}\\ &=\dfrac{(x+y)^2+9}{x+y}\\ &=x+y+\dfrac 9{x+y}\\ &\geqslant 6,\end{split}$$ 等号当 $x=1$，$y=2$ 时取得．因此所求最小值为 $6$．

解法二    根据柯西不等式，有

$$\begin{split} \sqrt{a^2-1}&\leqslant \sqrt{1+\lambda^2}a-\lambda,\\ \sqrt{b^2-4}&\leqslant \sqrt{1+\lambda^2}b-2\lambda,\end{split}$$ 于是 $$\begin{split} m&\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{\sqrt{1+\lambda^2}(a+b)-3\lambda}\\ &=\dfrac{1}{-\dfrac{3\lambda}{(a+b)^2}+\dfrac{\sqrt{1+\lambda^2}}{a+b}}\\ &\geqslant \dfrac{12\lambda}{1+\lambda^2}.\end{split}$$ 考虑取等条件，有 $$\begin{cases} \dfrac 1{\lambda}=\sqrt{a^2-1},\\ \dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{\sqrt{b^2-4}}2,\\ \dfrac{1}{a+b}=\dfrac{\sqrt{1+\lambda^2}}{6\lambda },\end{cases}$$ 解得 $$(\lambda,a,b)=\left(1,\sqrt 2,2\sqrt 2\right),$$ 于是所求最小值为 $6$．

备注    可以利用柯西不等式直接书写：

$$\begin{split} m&=\dfrac{(a+b)^2}{\sqrt{a^2-1}+1+\sqrt{b^2-4}+2-3}\\ &\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{\sqrt 2(a+b)-3}\\ &\geqslant 6,\end{split}$$ 等号当 $a=\sqrt 2$，$b=2\sqrt 2$ 时取得，因此所求最小值为 $6$．