每日一题[1389]裂项求和

已知数列 $\{a_n\}$ 是首项和公差相等的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_{10}=55$．数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，$b_n=\dfrac{2^{n-1}a_{n-1}}{2S_n}$．若数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，则 $T_{100}=$（       ）

A．$\dfrac{2^{101}}{101}$

B．$\dfrac{2^{100}}{100}$

C．$\dfrac{2^{100}}{101}$

D．$\dfrac{2^{101}}{100}$

答案    C．

解析    根据题意，有 $$a_n=n,S_n=\dfrac{n(n+1)}2,$$ 于是 $$b_n=\dfrac{2^{n-1}\cdot (n-1)}{n(n+1)}=\dfrac{2^n}{n+1}-\dfrac{2^{n-1}}{n},$$ 从而 $$T_{100}=\dfrac{2^{100}}{101}.$$