每日一题[1346]切线放缩

设 $x,y,z>0$，$x+y+z=1$，则 $m=\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac{27}{10}$．

解析    利用切线构造辅助不等式

$$\dfrac{1}{1+x^2}\leqslant -\dfrac{27}{50}\cdot\left(x-\dfrac 13\right)+\dfrac{9}{10},$$ 即 $$\dfrac{(4-3x)(3x-1)^2}{50(1+x^2)}\geqslant 0,$$ 该不等式对 $x\in [0,1]$ 均成立．因此 $$m=\sum_{cyc}\dfrac{1}{1+x^2}\leqslant \dfrac{27}{10},$$ 等号当 $x=y=z=\dfrac 13$ 时取得，所求最大值为 $\dfrac{27}{10}$．