每日一题[1309]圆锥截面

一个半径为 $2$ 的球放在桌面上，桌面上的一点 $A_1$ 的正上方有一个光源 $A$，$AA_1$ 与球相切，$AA_1=6$，球在桌面上的投影是一个椭圆，则这个椭圆的离心率等于_______．

答案    $\dfrac 12$．

解析    考虑过球心 $O$ 与光源 $A$ 且与桌面垂直的截面，如图．

根据题意，有 $A_1A_2=8$，$A_1P=3$，进而可得桌面与圆锥面的轴 $AO$ 所成的角的余弦为

$$\cos\angle APA_1=\dfrac{1}{\sqrt 5},$$ 而圆锥面的母线与 $AO$ 所成的角的余弦为 $$\cos\angle A_1AO=\dfrac{2}{\sqrt 5},$$ 因此所求离心率 $$e=\dfrac{\cos\angle APA_1}{\cos\angle A_1AO}=\dfrac 12.$$