每日一题[1262]暗藏勾股

在三棱锥 $S-ABC$ 中，$\triangle ABC$ 是边长为 $3$ 的等边三角形，$SA=\sqrt 3$，$SB=2\sqrt 3$，二面角 $S-AB-C$ 的大小为 $120^\circ$，则此三棱锥的外接球的表面积为_______．

答案    $21\pi$

解析    注意到

$$SA^2+AB^2=SB^2,$$ 于是 $\triangle SAB$ 是以 $A$ 为直角的直角三角形，于是三棱锥 $S-ABC$ 的外接球球心 $O$ 在面 $ABC$ 上的投影为正 $\triangle ABC$ 的中心 $P$，在面 $SAB$ 上的投影为直角 $\triangle SAB$ 斜边 $SB$ 的中点 $Q$．考虑平面 $OPQ$ 截三棱锥 $S-ABC$ 所得的截面为 $CMQ$，其中 $M$ 为 $AB$ 的中点，如图．

连接 $OM$，由于

$$QM=\dfrac 12\cdot SA=\dfrac{\sqrt 3}2,MP=\dfrac 13\cdot CM=\dfrac{\sqrt 3}2,$$ 于是 $\triangle OQM$ 与 $\triangle OPM$ 全等，进而 $$OM=2MP=\sqrt 3,$$ 根据余弦定理，可得 $$OC=\sqrt{OM^2+CM^2-2\cdot OM\cdot CM\cdot \cos 60^\circ}=\dfrac{\sqrt{21}}2,$$ 于是所求外接球的表面积为 $$4\pi\cdot OC^2=27\pi.$$