每日一题[1257]上下界估计

已知 $a,b$ 均为正数，若不等式 $x^2+2xy+3y^2\geqslant ax^2+by^2$ 对一切 $x,y\in\mathbb R$ 恒成立，则 $a+b$ 的取值范围是（       ）

A．$(0,2)$

B．$(1,2)$

C．$\left(\sqrt 2,2\right)$

D．$\left(\sqrt 3,2\right)$

答案    A．

解析    令 $y=-x$，有 $$\forall x\in\mathbb R,(a+b)x^2\leqslant 2x^2,$$ 于是 $$0<a+b\leqslant 2.$$ 考虑到当 $(a,b)\to (0,0)$ 时符合题意，当 $(a,b)\to (0,2)$ 时有 $$x^2+2xy+3y^2=(x+y)^2+2y^2\geqslant ax^2+by^2,$$ 符合题意．结合连续性可知 $a+b$ 的取值范围是 $(0,2)$．