每日一题[1093]构造函数证不等式

已知不等式 $\left(1+\dfrac 1n\right)^{n-a}\geqslant {\rm e}$ 对任意正整数 $n$ 都成立，试求实数 $a$ 的取值范围．

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分析与解　根据题意，有

$$\forall n\in\mathbb N^*,\ln\left(1+\dfrac 1n\right)-\dfrac{1}{n-a}\geqslant 0.$$ 令 $x=\dfrac 1n$，考虑当 $x\in [0,1]$ 时函数 $$\varphi(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x}{1-ax},$$ 有 $\varphi(0)=0$，而其导函数 $$\varphi'(x)=\dfrac{x}{(1+x)(ax-1)^2}\cdot\left(a^2x-2a-1\right),$$ 得到讨论分界点 $a=-\dfrac 12$．

情形一　$a\leqslant -\dfrac 12$．此时当 $x\in[0,1]$ 时，有

$$\varphi'(x)\geqslant 0,$$ 于是 $\varphi(x)$ 单调递增，进而 $$\varphi(x)\geqslant \varphi(0)=0,$$ 符合题意．

情形二　$a>-\dfrac 12$．此时当 $x\in\left(0,\dfrac{2a+1}{a^2}\right)$ 时，则有

$$\varphi'(x)<0,$$ 于是 $\varphi(x)$ 单调递减，进而 $$\varphi(x)<\varphi(0)=0,$$ 对应取 $n=\left[\dfrac{a^2}{2a+1}\right]+1$，则 $\dfrac 1n\in \left(0,\dfrac{2a+1}{a^2}\right)$，有 $$\ln\left(1+\dfrac 1n\right)-\dfrac{1}{n-a}<0,$$ 不符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$．