每日一题[1087]见招拆招

已知函数 $f(x)=\ln (x+2a)-ax$，$a>0$．

（1）求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）记 $f(x)$ 的最大值为 $M(a)$，若 $a_2>a_1>0$ 且 $M(a_1)=M(a_2)$，求证：$a_1a_2<\dfrac 14$；

（3）若 $a>2$，记集合 $\{ x\mid f(x)=0\}$ 中的最大元素为 $x_0$，设函数 $g(x)=|f(x)|+x$，求证：$x_0$ 是 $g(x)$ 的极小值点．

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 分析与解（1）函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-2a,+\infty)$，其导函数

$$f'(x)=\dfrac{-ax+1-2a^2}{x+2a},$$ 于是函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(-2a,-2a+\dfrac 1a\right)$，单调递减区间是 $\left(-2a+\dfrac 1a,+\infty\right)$．

（2）根据第 $(1)$ 小题的结果，我们有 $f(x)$ 的最大值

$$M(a)=f\left(-2a+\dfrac 1a\right)=2a^2-\ln a-1.$$ 问题可以转化为

函数 $h(x)=2{\rm e}^{2x}-x-1$，有 $h(x_1)=h(x_2)$，且 $x_1<x_2$，则 $x_1+x_2<-2\ln 2$．

下面证明转化后的问题：

事实上，有

$$\begin{split} h'(x)&=4{\rm e}^{2x}-1,\\ h''(x)&=8{\rm e}^{2x},\\ h'''(x)&=16{\rm e}^{2x},\end{split}$$ 于是 $x_1<-\ln 2<x_2$ 且 $$\forall x>-\ln 2,h''(x)-h''(-2\ln 2-x)>0,$$ 结合 $$h'(-\ln 2)=0,$$ 可得 $$\forall x>-\ln 2,h(x)>h(-2\ln 2-x),$$ 进而可得 $$h(x_1)=h(x_2)>h(-2\ln 2-x_2),$$ 因此 $$x_1<-2\ln 2-x_2,$$ 命题得证．

（3）由于 $f(0)=\ln (2a)>1$，于是 $x_0>0$，且

$$g(x)=\begin{cases} \ln(x+2a)-ax+x, & x<x_0,\\ -\ln(x+2a)+ax+x,&x\geqslant x_0.\end{cases}$$

情形一　当 $0<x<x_0$ 时，有

$$g'(x)=\dfrac{1}{x+2a}-a+1<\dfrac 1{2a}-a+1<0,$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上单调递减．

情形二　当 $x>x_0$ 时，有

$$g'(x)=-\dfrac{1}{x+2a}+a+1>-\dfrac{1}{2a}+a+1>0,$$ 因此函数 $g(x)$ 在 $(x_0,+\infty)$ 上单调递增．

综上所述，$x_0$ 是函数 $g(x)$ 的极小值点．