每日一题[1071]恰到好处

设函数 $f(x)=kx^2-kx$，$g(x)=\begin{cases} \ln x,&x\geqslant 1,\\ -x^3+(a+1)x^2-ax,&0<x<1,\end{cases}$ 若使得不等式 $f(x)\geqslant g(x)$ 对一切正实数 $x$ 恒成立的实数 $k$ 存在且唯一，则实数 $a$ 的值为_______．

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正确答案是$2$．

分析与解　根据题意，有

$$\forall 0<x<1,k(x-1)\geqslant -x^2+(a+1)x-a,$$ 且 $$\forall x>1,k(x-1)\geqslant \dfrac{\ln x}x.$$ 如图，若使得不等式 $f(x)\geqslant g(x)$ 对一切正实数 $x$ 恒成立的实数 $k$ 存在且唯一，则直线 $y=k(x-1)$ 是函数 $$\begin{split} g_1(x)&=\dfrac{\ln x}x,\\g_2(x)&=-x^2+(a+1)x-a\end{split}$$ 的公切线．因此 $$\left(\dfrac{\ln x}x\right)'_{x=1}=\left(-x^2+(a+1)x-a\right)'_{x=1},$$ 也即 $$1=-2+(a+1),$$ 解得 $a=2$．