求证：\({\rm e}^x+\left(\ln x-1\right)\cdot \sin x>0\)．
分析与证明 记不等式左边为 \(f(x)\)．考虑到当 \(x>0\) 时，有 \(-x<\sin x<x\)，于是设\[\begin{split}g(x)&={\rm e}^x+\left(\ln x-1\right)\cdot x,\\h(x)&={\rm e}^x+\left(\ln x-1\right)\cdot (-x),\end{split}\]则 \(f(x)\) 必然在 \(g(x)\) 和 \(h(x)\) 之间，如图．
接下来证明 \(g(x)>0\) 且 \(h(x)>0\)．
一方面，有\[g(x)={\rm e}^x-x +x\ln x,\]而 \(\left({\rm e}^x-x\right)'={\rm e}^x-1\)，于是\[{\rm e}^x-x\geqslant {\rm e}^0-0=1.\]由 \(\left(x\ln x\right)'=1+\ln x\)，于是\[x\ln x\geqslant -\dfrac{1}{\rm e},\]考虑到两个等号无法同时取得，因此有\[g(x)> 1-\dfrac{1}{\rm e}.\]
另一方面，由 \(1-\ln x\geqslant 2-x\)，于是有\[h(x)\geqslant {\rm e}^x+(2-x)x,\]而\[\left({\rm e}^x+(2-x)x\right)'={\rm e}^x-2x+2>0,\]于是 \(y={\rm e}^x+(2-x)x\) 单调递增，进而有 \(h(x)>1\)．
综上所述，原命题得证．
注 事实上，我们证明了一个更强的命题：\[{\rm e}^x+\left(\ln x-1\right)\cdot \sin x>1-\dfrac{1}{\rm e}.\]