每日一题[105] 三角代数式求值

（2001年复旦·自主招生）已知\(\sin\alpha+\sin\beta=a\)，\(\cos\alpha+\cos\beta=a+1\)，求\(\sin \left(\alpha+\beta\right)\)及\(\cos \left(\alpha+\beta\right)\)．

代数变形需要从形、元、次三个角度分析，已知条件的两个等式左侧的式子为一次的，而欲求结论的式子为二次的．提高次数的方法有平方以及相乘，如下．

两式平方相加，可得\[2+\cos{(\alpha-\beta)}=a^2+(a+1)^2,\]解得\[\cos{(\alpha-\beta)}=\dfrac{2a^2+2a-1}{2}.\]

两式平方相减，可得\[\cos{2\alpha}+\cos{2\beta}+2\cos{(\alpha+\beta)}=(a+1)^2-a^2,\]和差化积，有\[2\cos{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}+2\cos{(\alpha+\beta)}=2a+1.\]

两式相乘，可得\[\dfrac 12\sin{2\alpha}+\dfrac 12\sin{2\beta}+\sin{(\alpha+\beta)}=a(a+1),\]和差化积，有\[\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}+\sin{(\alpha+\beta)}=a^2+a.\]

由以上三式可以解得\[\begin{split}\cos(\alpha-\beta)&=\dfrac{2a^2+2a-1}{2},\\\cos(\alpha+\beta)&=\dfrac{2a+1}{2a^2+2a+1},\\\sin(\alpha+\beta)&=\dfrac{2a^2+2a}{2a^2+2a+1}.\end{split}\]

下面给出一组练习题．

1、（2003年复旦·自主招生）已知\(\sin\alpha+\cos\beta=\dfrac{\sqrt 3}2\)，\(\cos\alpha+\sin\beta=\sqrt 2\)，求\(\tan\alpha\cdot\cot\beta\)．

2、已知\(\sin A+\sin B=\sin C\)，\(\cos A+\cos B=\cos C\)，求\(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C\)．

3、已知\(\sin x+\sin y+\sin z=\cos x+\cos y+\cos z=0\)，求证：\(\tan(x+y+z)+\tan x\tan y\tan z=0\)．

参考答案

1、\(-\dfrac{73}{7}\)；2、\(\dfrac 32\)；3、略．