每日一题[105] 三角代数式求值

（2001年复旦·自主招生）已知$\sin\alpha+\sin\beta=a$，$\cos\alpha+\cos\beta=a+1$，求$\sin \left(\alpha+\beta\right)$及$\cos \left(\alpha+\beta\right)$．

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代数变形需要从形、元、次三个角度分析，已知条件的两个等式左侧的式子为一次的，而欲求结论的式子为二次的．提高次数的方法有平方以及相乘，如下．

两式平方相加，可得

$$2+\cos{(\alpha-\beta)}=a^2+(a+1)^2,$$ 解得 $$\cos{(\alpha-\beta)}=\dfrac{2a^2+2a-1}{2}.$$

两式平方相减，可得

$$\cos{2\alpha}+\cos{2\beta}+2\cos{(\alpha+\beta)}=(a+1)^2-a^2,$$ 和差化积，有 $$2\cos{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}+2\cos{(\alpha+\beta)}=2a+1.$$

两式相乘，可得

$$\dfrac 12\sin{2\alpha}+\dfrac 12\sin{2\beta}+\sin{(\alpha+\beta)}=a(a+1),$$ 和差化积，有 $$\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}+\sin{(\alpha+\beta)}=a^2+a.$$

由以上三式可以解得

$$\begin{split}\cos(\alpha-\beta)&=\dfrac{2a^2+2a-1}{2},\\\cos(\alpha+\beta)&=\dfrac{2a+1}{2a^2+2a+1},\\\sin(\alpha+\beta)&=\dfrac{2a^2+2a}{2a^2+2a+1}.\end{split}$$

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下面给出一组练习题．

1、（2003年复旦·自主招生）已知$\sin\alpha+\cos\beta=\dfrac{\sqrt 3}2$，$\cos\alpha+\sin\beta=\sqrt 2$，求$\tan\alpha\cdot\cot\beta$．

2、已知$\sin A+\sin B=\sin C$，$\cos A+\cos B=\cos C$，求$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C$．

3、已知$\sin x+\sin y+\sin z=\cos x+\cos y+\cos z=0$，求证：$\tan(x+y+z)+\tan x\tan y\tan z=0$．

参考答案

1、$-\dfrac{73}{7}$；2、$\dfrac 32$；3、略．