每日一题[958]裂项求和与放缩

求证： $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{16}{(2k+1)(2k+2)}>\dfrac{9n-3}{4n+3}$ ．

cover 分析与解　裂项放缩，有

$LHS=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{16}{(2k+1)(2k+2)}>\sum_{k=1}^{n}\dfrac{16}{(2k+1)(2k+3)}=\dfrac 83-\dfrac 8{2n+3}>\dfrac{9n-3}{4n+3}.$ 事实上，当

$n\geqslant 4$ 时，有

$LHS\geqslant \dfrac{16}{12}+\dfrac{16}{30}+\dfrac{16}{56}+\dfrac{16}{90}=\dfrac{734}{315}>\dfrac 94>RHS.$

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