定义$g(n)$为自然数$n$中所有因数中的最大奇数，求$$M(n)=g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^n-1\right)$$的值．
分析与解 注意到$g(2n)=g(n)$，记\[S_n=g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^n-1\right)+g\left(2^n\right),\]则当$n\geqslant 2$时，有\[\begin{split}
S_n&=g(1)+g(3)+\cdots+g\left(2^n-1\right)+\left[g(2)+g(4)+\cdots+g\left(2^n\right)\right]\\&=1+3+\cdots+\left(2^n-1\right)+\left[g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^{n-1}\right)\right]\\&=2^{2n-2}+S_{n-1},
\end{split}\]而$S_1=2$，由累加法得到\[S_n=2+2^2+2^4+2^6+\cdots+2^{2n-2}=2+\dfrac 43\left(4^{n-1}-1\right),\]进而可得\[M(n)=S_n-1=\dfrac 13\cdot 4^n-\dfrac 13.\]