每日一题[882]钟形曲线

已知抛物线$y=\dfrac 14x^2$和$y=-\dfrac{1}{16}x^2+5$所围成的封闭曲线如图所示，给定$A(0,a)$，若在此时封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点$A$对称，求实数$a$的取值范围．

 

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正确答案是$\left(\dfrac 52,4\right)$．

分析与解　问题即将封闭曲线关于$x$轴的镜像向上平移，使得原封闭曲线与变换后的曲线恰好有$6$个不同的公共点，如图．

两个临界状态对应的$a=\dfrac 52$和$a=4$，于是实数$a$的取值范围是$\left(\dfrac 52,4\right)$．

代数方法

首先，在同支抛物线上恰好存在一对关于$y$轴对称的点满足要求；另两对点必然是分别在两支抛物线上的，且另两对点分别关于$y$轴对称，于是设$M\left(m,\dfrac 14m^2\right)$为抛物线$y=\dfrac 14x^2$上一点，且$m\in(-4,0)$，它关于$A$的对称点$N\left(-m,2a-\dfrac 14m^2\right)$在抛物线$y=-\dfrac 1{16}x^2+5$上，所以有

$$2a-\dfrac 14m^2=-\dfrac 1{16}m^2+5,$$ 于是有 $$a=\dfrac 3{32}m^2+\dfrac 52,m\in(-4,0),$$ 所以$a$的取值范围为$\left(\dfrac 52,4\right)$．