每日一题[92] 消元

已知互不相等的四个实数$a,b,c,d$满足

$$a+\dfrac 1b=b+\dfrac 1c=c+\dfrac 1d=d+\dfrac 1a=x,$$ 求$x$的所有可能的值．

---

正确答案是$\pm\sqrt 2$．

依次消元，根据条件有

$$\begin{split}d&=x-\dfrac 1a\\c&=x-\dfrac 1d=\dfrac{ax^2-x-a}{ax-1}\\b&=x-\dfrac 1c=\dfrac{ax^3-x^2-2ax+1}{ax^2-x-a}\\a&=x-\dfrac 1b=\dfrac{ax^4-x^3-3ax^2+2x+a}{ax^3-x^2-2ax+1}\end{split}$$ 整理得 $$x\left(x^2-2\right)\left(a^2-xa+1\right)=0,$$ 于是 $$x=0\lor x=\pm\sqrt 2\lor x=a+\dfrac 1a.$$ 经验证，只有$x=\pm\sqrt 2$符合题意．

例如：当$(a,b,c,d)=(1,\sqrt 2+1,-1,\sqrt 2-1)$时，$x=\sqrt 2$．

当$(a,b,c,d)=(-1,-\sqrt 2-1,1,-\sqrt 2+1)$时，$x=-\sqrt 2$．