若对任意锐角x,均有sinx+tanx−2x>mx2,求实数m的取值范围.
正确答案是(−∞,0].
考虑函数f(x)=sinx+tanx−2x−mx2,则其导函数f′(x)=cosx+1cos2x−2−2mx,其二阶导函数f″(x)=−sinx+2sinxcos3x−2m,因此f(0)=f′(0)=0,f″(0)=−2m,得到m的讨论分界点为0.
情形一 m⩽.此时f(x)\geqslant \sin x+\tan x-2x,设右侧函数为\varphi(x),则其导函数\varphi'(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-2.当x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)时,\varphi(x)单调递增,因此\varphi(x)>\varphi(0)=0,符合题意.
情形二 m>0.此时f''(0)=-2m<0,结合当x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)时f''(x)单调递增(因为f'''(x)=\dfrac {2-\cos^5 x+4\sin^2 x}{\cos^4 x}>0),且{x\to \left({\frac{\pi}2}\right)^-},f''(x)\to +\infty,于是f''(x)在\left(0,\dfrac{\pi}2\right)上有零点,设为a.
在(0,a)上,f'(x)单调递减,结合f'(0)=0,可得在(0,a)上,f(x)单调递减,又f(0)=0,因此在(0,a)上,f(x)<0,不符合题意.
综上所述,实数m的取值范围是(-\infty,0].