黑板写有$1,2,4,8,\cdots,2^{99}$这$100$个数，甲乙两人轮流对黑板上的数进行操作(甲先)，每次将其中的$3$个数减$1$．如果某次操作后黑板上出现了负数，就算输，对方获胜．问：甲有获胜的策略吗？如何操作．
分析与解 甲有获胜的策略，只需要第一次操作$1,2^{98},2^{99}$，之后每次都操作乙刚操作的数即可，证明如下．
记这$100$个数分别为$x_i$($i=1,2,\cdots,100$)，它们的初值分别为$1,2,4,8,\cdots,2^{99}$，和是$2^{100}-1$．由于\[1+2+\cdots+2^{97}<2^{98}<2^{99},\]因此无论如何操作，结束时$x_{99}$和$x_{100}$必然均非负数(否则对$x_1,x_2,\cdots,x_{98}$的操作次数大于$2^{98}$，而至多操作$2^{98}$次，在$x_1,x_2,\cdots,x_{98}$中就出现负数了)．
这样甲操作完第一次之后，除了最后两个数，其他的各个数都是偶数，所以乙操作后甲必然可以执行相同的操作，并且在这样一次“镜像”操作后仍然处于“除了最后两个数，其他的各个数都是偶数”的状态．经过有限次“镜像”操作后，留给乙的必然为$x_i=0$($i=1,2,\cdots,98$)以及$x_{99},x_{100}$，此时乙失败，甲获胜．
注 镜像策略的一个经典例子：一个正方形的桌子，甲乙轮流摆棋子（不允许重合），谁先放不下谁输．