每日一题[828]该分离时就分离

已知$(x-a)^2\cdot \ln x\leqslant 4{\rm e}^2$对任意$x\in (0,3{\rm e}]$恒成立，求$a$的取值范围．

分析与解　题意即 $$\forall x\in (1,3{\rm e}],|x-a|\leqslant \dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{\ln x}},$$ 也即 $$\forall x\in (1,3{\rm e}],-\dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{\ln x}}+x\leqslant a\leqslant \dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{\ln x}}+x.$$ 设左侧函数为$f(x)$，右侧函数为$g(x)$．一方面，$f(x)$单调递增，在$(1,3{\rm e}]$上的最大值为 $$f(3{\rm e})=3{\rm e}-\dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{1+\ln 3}}.$$ 另一方面，$g(x)$的导函数 $$g'(x)=1-\dfrac{2{\rm e}}{2x\ln x\cdot \sqrt{\ln x}},$$ 于是$g(x)$在$x={\rm e}$处取得最小值$g({\rm e})=3{\rm e}$．

因此$a$的取值范围是$\left[3{\rm e}-\dfrac{2{\rm e}}{\sqrt{1+\ln 3}},3{\rm e}\right]$．