升级版“兔子数列”

已知正整数数列$\{a_n\}$满足$\forall n\in\mathbb N^*$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，且$a_k=2017$，求$k$的最大值．

分析与解　记兔子数列$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,\cdots$为数列$\{b_n\}$，则对所有正整数$n$均有 $$a_{n+2}=b_n\cdot a_1+b_{n+1}\cdot a_2.$$
当$k=12$时，有 $$a_{12}=55a_1+89a_2,$$ 考虑$2017\equiv 37\pmod{55}$，而$89m$($m\in\mathbb N$且$m\leqslant 22$)模$55$的余数分别为 $$0,34,13,47,26,5,39,18,52,31,10,44,23,2,36,15,49,28,7,41,20,54,33$$ 因此不符合题意；\\
当$k=11$时，有 $$a_{11}=34a_1+55a_2,$$ 考虑$2017 \equiv 11\pmod {34}$，由于$55m$($m\in\mathbb N$)模$34$的余数分别为 $$0,21,8,29,16,3,24,11,\cdots$$ 于是取$(a_1,a_2)=(48,7)$即符合题意．

接下来证明若$k=p$($p\geqslant 3$)符合题意，那么$k=p-1$也符合题意，证明如下．

若存在$k=p$且$p\geqslant 3$的情形，即 $$2017=b_{p-2}a_1+b_{p-1}a_2=b_{p-2}a_1+(b_{p-2}+b_{p-3})a_2=b_{p-3}a_2+b_{p-2}(a_1+a_2),$$ 这就意味着那么必然存在$k=p-1$的情形．例如当$(a_1,a_2)=(7,55)$时，$a_{10}=2017$．

由于$k=12$不符合题意，因此$k\geqslant 13$时必然不符合题意．

综上所述，$k$的最大值为$11$．