每日一题[800]兵分两路

已知直线$l:x=t$与椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)相交于$A,B$两点，$M$是椭圆$C$上一点，设直线$MA,MB$分别与$x$轴交于$E,F$两点，$O$为坐标原点，求证：$|OE|\cdot |OF|$为定值．

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分析与解　法一　坐标法

设$A(t,s)$，$B(t,-s)$，$M(m,n)$，则

$$\dfrac{t^2}{a^2}+\dfrac{s^2}{b^2}=\dfrac{m^2}{a^2}+\dfrac{n^2}{b^2}=1,$$ 且 $$|OE|\cdot |OF|=\left|\dfrac{tn-ms}{n-s}\cdot \dfrac{tn-m(-s)}{n-(-s)}\right|=\left|\dfrac{t^2n^2-m^2s^2}{n^2-s^2}\right|,$$ 将$t^2=a^2-\dfrac{a^2}{b^2}s^2$，$m^2=a^2-\dfrac{a^2}{b^2}n^2$代入，可得$|OE|\cdot |OF|=a^2$为定值．

法二　仿射变换

利用仿射变换$x'=x$，$y'=\dfrac ab y$将椭圆$C$变为圆$C':x'^2+y'^2=a^2$，如图．由于$\angle OMB=\angle OBM=\angle OAF$，于是$O,M,F,A$四点共圆，进而有

$$\angle OMA=\angle AFO=\angle MFO,$$ 因此$\triangle OME$与$\triangle OFM$相似，进而 $$|OE|\cdot |OF|=|OM|^2=a^2$$ 为定值．

注　特别的，对$\triangle MAB$应用梅涅劳斯定理，可得$\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FB}$．