每日一题[731]任意与存在的“纠葛”

设二次函数$f(x)=x^2+bx+c$，若对任意的实数$b$，都存在实数$x\in [1,2]$，使得不等式$|f(x)|\geqslant x$成立，求实数$c$的取值范围．

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分析与解　考虑问题的反面，也即“存在实数$b$，使得对任意$x\in [1,2]$，不等式$|f(x)|<x$成立”．由于

$$\forall x\in [1,2],|f(x)|<x,$$ 即 $$\forall x \in [1,2],-1<x+\dfrac cx+b<1,$$ 于是问题的反面等价于函数$g(x)=x+\dfrac cx,x\in [1,2]$的值域“宽度”小于$2$．

情形一　当$c>4$时，限制条件为$g(1)-g(2)<2$，解得$4<c<6$．

情形二 　当$1\leqslant c\leqslant 4$时，限制条件为

$$\begin{cases} g(2)-2\sqrt c<2,\\g(1)-2\sqrt c<2,\end{cases}$$ 解得$1\leqslant c\leqslant 4$．

情形三　当$c<1$时，限制条件为$g(2)-g(1)<2$，解得$-2<c<1$．

综上所述，问题的反面对应的$c$的取值范围是$(-2,6)$，于是所求的$c$的取值范围是$(-\infty,-2]\cup [6,+\infty)$．