1、已知函数\(f(x)=2mx^2-4(4-m)x+1\)，\(g(x)=mx\)，若对于任意实数\(x\)，\(f(x)\)与\(g(x)\)的值至少有一个为正数，则实数\(m\)的取值范围是_______．
2、已知\(x\in\mathcal R\)，定义：\(\lceil x\rceil\)表示不小于\(x\)的最小整数．若\(\lceil 2x+1\rceil=3\)，则\(x\)的取值范围是_______；若\(x>0\)且\(\lceil 2x\cdot \lceil x\rceil\rceil=5\)，则\(x\)的取值范围是_______．
3、\(\lim\limits_{x\to 4}{\dfrac{\sqrt{2x+1}-3}{\sqrt x-2}}=\)_______．
4、设\(\left\{a_n\right\}\)满足：\(a_{n+1}=\dfrac{1}{4}\left(a_n^4+3\right)\)，\(a_1>1\)．求证：\[\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{a_n^2+2a_n+3}{\left(a_n+1\right)\left(a_n^2+1\right)}=\dfrac{1}{a_1-1}.\]
5、求证：\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\dfrac{1}{2^n-\dfrac 1{2^n}}}<\dfrac 43\)．
6、在三角形\(ABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)的对边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且满足\(\left(2a-c\right)\cos B=b\cos C\)．
（1）求\(B\)的大小；
（2）求\(\cos^2A+\sin^2C\)的最大值．
7、设二次函数\(y=f(x)\)的图象过点\((0,0)\)，且满足对任意实数\(x\)均有\[-3x^2-1\leqslant f(x)\leqslant 6x+2.\]数列\(\left\{a_n\right\}\)满足：\(a_1=\dfrac 13\)，\(a_{n+1}=f\left(a_n\right)\)．
（1）确定\(f(x)\)的解析式；
（2）求证：\(a_{n+1}>a_n\)；
（3）求证：\(\dfrac{1}{\dfrac 12-a_1}+\dfrac{1}{\dfrac 12-a_2}+\cdots+\dfrac{1}{\dfrac 12-a_n}\geqslant 3^{n+1}-3\)．
参考答案
1、\((0,8)\)．
2、\(\left(\dfrac 12,1\right]\)；\(\left(1,\dfrac 54\right]\)．
3、\(\dfrac 43\)．
提示：令\(t=\sqrt x-2\)，换元后分子有理化即得．
4、提示：\(\dfrac{a_n^2+2a_n+3}{\left(a_n+1\right)\left(a_n^2+1\right)}=\dfrac{1}{a_n-1}-\dfrac{4}{a_n^4-1}=\dfrac{1}{a_n-1}-\dfrac{1}{a_{n+1}-1}\)．
5、提示：\[\dfrac{1}{2^n-\dfrac 1{2^n}}=\dfrac{2^n}{4^n-1}<\dfrac{2^n+1}{4^n}=\dfrac 1{2^n}+\dfrac 1{4^n},\]或\[\dfrac{1}{2^n-\dfrac 1{2^n}}<\dfrac 1{2^{n-1}},\]然后后移放缩起点至\(n=4\)．
6、（1）\(B=\dfrac {\pi}{3}\)；（2）\(1+\dfrac{\sqrt 3}{2}\)．
提示：（2）题中代数式变形为\[\begin{split}\dfrac{1+\cos{2A}}2+\dfrac{1-\cos\left(\dfrac{4\pi}3-2A\right)}{2}&=1+\dfrac{\sqrt 3}4\sin{2A}+\dfrac 34\cos{2A}\\&=1+\dfrac{\sqrt 3}2\sin\left(2A+\dfrac{\pi}{3}\right).\end{split}\]
7、（1）\(f(x)=-2x^2+2x\)；（2）略；（3）略．
提示：（1）注意到直线\(y=6x+2\)与抛物线\(y=-3x^2-1\)相切于\((-1,-4)\)，因此\(y=f(x)\)的图象与此二者的图象亦相切于该点，如图．
（2）只需要证明\(0<a_n<\dfrac 12\)，如图．
（3）递推式可以变形为\[\dfrac 12-a_{n+1}=2\left(\dfrac 12-a_n\right)^2,\]而欲证结论可以由\[\dfrac 12-a_n\leqslant \dfrac{1}{2\cdot 3^n}\]推得．