练习题[17] 创新能力培养基础练习

1、已知\(a,b,c>0\)且\(a^2+b^2+c^2=1\)，则\(\dfrac{(c+1)^2}{abc}\)的最小值为________．

2、已知\(\forall x\in\mathcal Z,\left[px+q\right]=ax+b\)，其中\(a,b\)为非零常数，\([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数．则实数\(q\)的取值范围是_______．

3、已知圆\(x^2+y^2=4\)上一点\(A(2,0)\)，\(B\)、\(C\)为圆上动点，\(\angle BAC=60^\circ\)，则三角形\(ABC\)的垂心的轨迹方程为_______．

4、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且满足\(a_2=6\)，\(3S_n=(n+1)a_n+n(n+1)\)．

（1）求\(a_1\)，\(a_3\)；

（2）求数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式；

（3）已知数列\(\left\{b_n\right\}\)的通项公式是\(b_n=\sqrt{a_n}\)，\(c_n=b_{n+1}-b_n\)．试判断数列\(c_n\)是否是单调数列，并证明：\(\forall n\in \mathcal N^*,1<c_n\leqslant \sqrt{6}-\sqrt{2}\)．

5、椭圆\(\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}3=1\)，直线\(y=\dfrac{1}{2}x\)与椭圆交于\(A\)、\(B\)两点，\(C\)、\(D\)为椭圆上异于\(A\)、\(B\)的任意两点，\(AC\)交\(BD\)于\(M\)，\(AD\)交\(BC\)于\(N\)．求证：直线\(MN\)的斜率为定值．

6、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的首项\(a_1=a\)（\(a\neq 1\)），且满足递推式\[a_{n+1}=\dfrac{a_n^2}{2\left(a_n-1\right)}.\]求\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式．

7、已知数列\(\left\{a_n\right\}\)的各项均为正数，它的前\(n\)项之和\[S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,\]前\(n\)项的倒数之和\[T_n=\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}.\]对于任意的正整数\(n\)，均有\[\left(2-S_n\right)\left(1+T_n\right)=2.\]

（1）求\(a_1\)，\(a_2\)的值；

（2）设\(b_n=2-S_n\)，求证：数列\(\left\{b_n\right\}\)是等比数列；

（3）求数列\(\left\{a_n\right\}\)的通项公式．

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参考答案

1、\(6+4\sqrt 2\)      提示：先考虑\(ab\leqslant \dfrac 12\left(a^2+b^2\right)=\dfrac 12\left(1-c^2\right)\)． 

2、\(\left[b,b+1\right)\)．提示：从比较函数\(y=f(x)\)与函数\(y=\left[f(x)\right]\)的图象入手．

3、\((x-2)^2+y^2=4,0\leqslant x<3\)．

提示：注意\(AH=2OM\)，其中\(M\)为\(BC\)边的中点．

4、（1）\(a_1=2\)，\(a_3=12\)；

（2）\(a_n=n(n+1)\)；      

提示：两边差分，有\[3a_{n+1}=(n+2)a_{n+1}-(n+1)a_n+2(n+1),\]即\[(n+1)a_n-(n-1)a_{n+1}=2(n+1),\]两边同除以\((n-1)n(n+1)\)得\[\dfrac{a_n}{n(n-1)}-\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=\dfrac{2}{n(n+1)}.\]

（3）单调递减；略．

5、\(-1\)．

提示：利用椭圆的“垂径定理”的推论，可得\[k_{MA}\cdot k_{NB}=k_{MB}\cdot k_{NA}=-\dfrac{b^2}{a^2},\]再由分式的合分比定理即得．

6、当\(a=0\)时，\(a_n=0\)；当\(a\neq 0\)时，\(a_n=\dfrac{2}{1-\left(\dfrac{a-2}{a}\right)^{2^{n-1}}}\)．

提示：利用不动点构造辅助数列\(b_n=\dfrac{a_n-2}{a_n}\)．

7、（1）\(a_1=1\)，\(a_2=\dfrac 12\)；（2）略；（3）\(a_n=\dfrac 1{2^{n-1}}\)．