每日一题[697]有效转化

（2012年北京市海淀区二模）曲线$C$是平面内到定点$A(1,0)$的距离与到定直线的距离$x=-1$的距离之和为$3$的动点$P$的轨迹，则曲线$C$与$y$轴的交点的坐标是_____；又已知$B(a,1)$($a$为参数)，那么$|PA|+|PB|$的最小值$d(a)=$______．

---

答案　$(0,\pm \sqrt 3)$，
$\begin{cases} \sqrt{a^2-2a+2},&a<-\dfrac 75,\\a+4,&-\dfrac 75\leqslant a\leqslant -1,\\ 2-a,&-1<a\leqslant 1,\\ \sqrt{a^2-2a+2},&a>1.\end{cases}$．

分析与解　作与直线$x=-1$的距离为$3$的两条直线$x=2$，$x=-4$，那么“到定点与定直线$x=-1$的距离之和为$3$”，就转化成了“在直线$x=-1$的左侧到定点的距离与到直线$x=-4$的距离相等，或在直线$x=-1$的右侧到定点的距离与到直线$x=2$的距离相等”，如图：

曲线$C$由抛物线弧

$$y^2=-2\left(x-\dfrac 32\right),y\in\left[-\sqrt 5,\sqrt 5\right]$$ 和抛物线弧 $$y^2=10\left(x+\dfrac 32\right),y\in\left[-\sqrt 5,\sqrt 5\right]$$ 共同组成．
容易求出曲线$C$与$y$轴的交点坐标为$\left(0,\pm\sqrt 3\right)$．

接下来研究对于$B(a,1)$，$|PB|+|PA|$的最小值$d(a)$．

如下图，设直线$y=1$与直线$x=-4$，抛物线弧$y^2=10\left(x+\dfrac 32\right),y\in\left[-\sqrt 5,\sqrt 5\right]$，直线$x=-1$，抛物线弧$y^2=-2\left(x-\dfrac 32\right),y\in\left[-\sqrt 5,\sqrt 5\right]$，直线$x=2$依次交于$B_1\left(-4,1\right)$，$B_2\left(-\dfrac 75,1\right)$，$B_3\left(-1,1\right)$，$B_4\left(1,1\right)$，$B_5\left(2,1\right)$．

以$B_1,B_2,B_3,B_4,B_5$为分界点分类讨论：
可得

$$d(a)=\begin{cases} \sqrt{a^2-2a+2},&a<-\dfrac 75,\\ a+4,&-\dfrac 75\leqslant a\leqslant -1,\\ 2-a,&-1<a\leqslant 1,\\ \sqrt{a^2-2a+2},&a>1.\end{cases}$$

思考与总结　本题是抛物线描述：“到定点与定直线距离之差为定值”的升级版本，需要补充辅助线．解决问题的关键是利用抛物线的定义将到定点的距离转化为到定直线的距离．