（2012年上海卷）对于数集$X=\{-1,x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，其中$0<x_1<x_2<\cdots <x_n$，$n\geqslant 2$．定义向量集$Y=\{\overrightarrow a\mid \overrightarrow a=(s,t),s,t\in X\}$，若对任意$\overrightarrow a_1\in Y$，存在$\overrightarrow a_2\in Y$，使得$\overrightarrow a_1\cdot \overrightarrow a_2=0$，则称$X$具有性质$P$．例如$\{-1,1,2\}$具有性质$P$．
(1) 若$x>2$，且$\{-1,1,2,x\}$具有性质$P$，求$x$的值；
(2) 若$X$具有性质$P$，求证：$1\in X$，且当$x_n>1$时，$x_1=1$；
(3) 若$X$具有性质$P$，且$x_1=1$，$x_2=q$($q$为常数)，求有穷数列$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的通项公式．
分析与解 (1) 取$\overrightarrow a_1=(2,x)$，则对应的$\overrightarrow a_2$必然为$\left(\dfrac 12x,-1\right)$，于是$x=4$．
(2) 因为若取$\overrightarrow a_1=(x_1,x_1)$，那么$\overrightarrow a_2$必然为$(1,-1)$或$(-1,1)$，于是$1\in X$．接下来用反证法证明当$x_n>1$时，$x_1=1$．
若不然，则$0<x_1<1=x_k<x_n$($1<k<n$且$k\in\mathbb N^*$)，此时取$\overrightarrow a_1=(x_1,x_n)$，则对应的$\overrightarrow a_2$为$\left(-1,\dfrac{x_1}{x_n}\right)$或$\left(\dfrac{x_n}{x_1},-1\right)$．由于$$\dfrac{x_1}{x_n}<x_1,\dfrac{x_n}{x_1}>x_n,$$于是$\dfrac{x_1}{x_n},\dfrac{x_n}{x_1}\notin X$，矛盾．因此当$x_n>1$时，$x_1=1$．
(3) 设集合$$M=\left\{\dfrac{x_i}{x_j}\mid x_i,x_j\in X\right\},$$对于任意$\dfrac {x_i}{x_j}\in M$，因为$(x_i,x_j)\in Y$，所以$\left(-1,\dfrac {x_i}{x_j}\right)$与$\left(\dfrac {x_j}{x_i},-1\right)$中至少有一个元素在$Y$中，记为$x_k$，于是我们得到$$M\subseteq\{-x_n,\cdots ,-1,1,q,\cdots ,x_n\}.$$又因为$x_k=\dfrac {x_k}{x_1}\in M$，所以$-x_k=\dfrac {x_k}{-1}\in M$，所以有$$\{-x_n,\cdots ,-1,1,q,\cdots ,x_n\}\subseteq M,$$于是$M=\{-x_n,\cdots ,-1,1,q,\cdots ,x_n\}$，共$2n$个元素．考虑到\[\begin{split} &\dfrac{x_n}{x_{n-1}}<\dfrac{x_n}{x_{n-2}}<\cdots <\dfrac{x_n}{x_2}<\dfrac{x_n}{x_1},\\&\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-2}}<\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-3}}\cdots <\dfrac{x_{n-1}}{x_1},\\&\cdots ,\\&\dfrac{x_4}{x_3}<\dfrac{x_4}{x_2}<\dfrac{x_4}{x_1},\\&\dfrac{x_3}{x_2}<\dfrac{x_3}{x_1},\\&\dfrac{x_2}{x_1},\end{split} \]而$$\dfrac{x_3}{x_1}<\dfrac{x_4}{x_1}<\cdots <\dfrac{x_{n-1}}{x_1}<\dfrac{x_n}{x_1},$$于是$$\dfrac{x_n}{x_{n-1}}=\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-2}}=\cdots =\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_2}{x_1}=q,$$因此数列$\{x_n\}$的通项公式为$x_k=q^{k-1}$($k=1,2,\cdots ,n$)．
思考与总结 第(3)小题中通过构造集合$M$，配合有限数集中数的大小排序，找到其中的对应关系．